a: Xét tứ giác ADME có 

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{EAD}=90^0\)

Do đó: ADME là hình chữ nhật

a) Xét tứ giác ADME có:

∠(DAE) = ∠(ADM) = ∠(AEM) = 90o

⇒ Tứ giác ADME là hình chữ nhật (có ba góc vuông).

b) Ta có ME // AB ( cùng vuông góc AC)

M là trung điểm của BC (gt)

⇒ E là trung điểm của AC.

Ta có E là trung điểm của AC (cmt)

Chứng minh tương tự ta có D là trung điểm của AB

Do đó DE là đường trung bình của ΔABC

⇒ DE // BC và DE = BC/2 hay DE // MC và DE = MC

⇒ Tứ giác CMDE là hình bình hành.

c) Ta có DE // HM (cmt) ⇒ MHDE là hình thang (1)

Lại có HE = AC/2 (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông AHC)

DM = AC/2 (DM là đường trung bình của ΔABC) ⇒ HE = DM (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MHDE là hình thang cân.

d) Gọi I là giao điểm của AH và DE. Xét ΔAHB có D là trung điểm của AB, DI // BH (cmt) ⇒ I là trung điểm của AH

Xét ΔDIH và ΔKIA có

IH = IA

∠DIH = ∠AIK (đối đỉnh),

∠H1 = ∠A1(so le trong)

ΔDIH = ΔKIA (g.c.g)

⇒ ID = IK

Tứ giác ADHK có ID = IK, IA = IH (cmt) ⇒ DHK là hình bình hành

⇒ HK // DA mà DA ⊥ AC ⇒ HK ⊥ AC

hình bạn tự vẽ nhe

a, Xét tứ giác ADME có 3 góc vuông:\(MDA=DAE=MEA=90^o\)

do đó : ADME là hình chữ nhật.

b, Xét tam giác ABC có đường t.b ME (1)

lại có M là trung điểm BC và ME//DA 

=> D là trung điểm của AB (2)

từ (1) và (2) suy ra:

\(ME=\dfrac{1}{2}AB\)

hay ME=DB và ME//DB 

vậy tứ giác ADME là hình bình hành

c,

Xét tam giác EHD và tam giác EAD có 

DE cạnh chung 

AD=DH(gt)

góc HED = góc AED (gt)

do đó 2 tam giác EHD và EAD = nhau 

=> HE = AE ( 2 cạnh tương ứng )(3)

Xét hình chữ nhật ADME có :

DM= AE ( 2 cạnh đối = nhau )(4)

từ (3) và (4) suy ra :

HE=DM 

Xét tứ giác DEMH có :

HE =DM (cmt)

do đó : DEMH là hình thang cân ( 2 đường chéo = nhau ).

a) Xét tứ giác ADME có:

∠(DAE) = ∠(ADM) = ∠(AEM) = 90o

⇒ Tứ giác ADME là hình chữ nhật (có ba góc vuông).

a: Xét tứ giác ADME có 

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: ADME là hình chữ nhật

Lời giải:
a. $M,E$ là trung điểm $BC, AC$

$\Rightarrow ME$ là đường trung bình của $ABC$ ứng với $AB$

$\Rightarrow ME\parallel AB$

Mà $AB\perp AC$ nên $ME\perp AC$

$\Rightarrow \widehat{E}=90^0$

Tứ giác $ADME$ có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0$ nên là hcn.

b.

Tứ giác $AMKC$ có 2 đường chéo $AC, MK$ cắt nhau tại trung điểm $E$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mà $MK\perp AC$ (do $ME\perp AC$) 

$\Rightarrow AMKC$ là hình thoi.

c.

Gọi I là giao $DE, HM$

$DM\perp AB, AB\perp AC\Rightarrow DM\parallel AC$

$\Rightarrow \frac{DB}{AD}=\frac{BM}{MC}=1$ (định lý Talet)

$\Rightarrow DB=AD$ hay $D$ là trung điểm $AB$

$ME$ là đường trung bình ứng với cạnh AB

$\Rightarrow ME\parallel AB$ và $ME=\frac{1}{2}AB$

Mà $E$ là trung điểm của $MK$

$\Rightarrow EK\parallel AB$ và $EK=AB:2$

$\Rightarrow EK\parallel DA$ và $EK=DA$

$\Rightarrow DEKA$ là hbh

$\Rightarrow DE\parallel AK$

Mà $HM\perp AK$ nên $DE\perp HM(*)$

Lại có:

$DE\parallel AK \Rightarrow IE\parallel HK$

$\Rightarrow \frac{MI}{IH}=\frac{ME}{EK}=1$

$\Rightarrow MI=IH(**)$

Từ $(*); (**)$ suy ra $DE\perp HM$ tại trung điểm $I$ của $HM$

$\Rightarrow DE$ là đường trung trực của $HM$

$\Rightarrow DH=DM, EH=EM$

$\Rightarrow \triangle DHE=\triangle DME$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{DHE}=\widehat{DME}=90^0$

$\Rightarrow DH\perp HE$